<b>1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня.</b>
</br><b>Область определения функции</b> u=f(x,y) есть либо часть плоскости, ограниченная заданной кривой, причем точки этой кривой могут не принадлежать области определения, либо вся плоскость, либо совокупность нескольких частей плоскости хОу.
</br><b>Линией уровня</b> функции u=f(x,y) называют линию f(x,y)=с на плоскости хОу, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
</br><b>Поверхностью уровня</b> функции u=f(x,y,z) называют поверхность f(x,y,z)=с, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
</br>
</br><b>2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. </b>
</br>Рассмотрим функцию z=f(x,y), где х,у – независимые переменные.
</br>Будем изменять (давать приращение) первой переменной х, а у зафиксируем, тогда функция z получит приращение частное по переменной х:
</br>/\<sub>x</sub>z – частное приращение по х
</br>/\<sub>x</sub>z=f(x+/\x,y)-f(x,y).
</br>Теперь зафиксируем х, а у будем давать приращение /\у, тогда функция z получит частное приращение по переменной у:
</br>/\<sub>y</sub>z – частное приращение по у
</br>/\<sub>y</sub>z= f(x,y+/\y)-f(x,y)
</br>Если существует предел:
lim(/\х -> 0) /\<sub>x</sub>z/ /\ х= lim(/\ х -> 0) f(x+/\x,y)-f(x,y)/ /\x, то он называется <b>частной производной функции z</b> в точке М по переменной х.
</br>Обозначение.
</br>Если существует предел:
lim(/\y -> 0) /\<sub>y</sub>z/ /\ y= lim(/\ y -> 0) f(x,y+/\y)-f(x,y)/ /\y, то он называется <b>частной производной функции z</b> в точке М по переменной y.
</br>Обозначение.
</br> Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(х,у). Полное приращение для этой функции:
</br>/\z=f(x+/\x,y+/\y)-f(x,y).
</br>Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде:
</br>/\z=A*/\x+B*/\y+alpha*/\x+beta*/\y
</br>alpha, beta -> 0 – бесконечно малые функции
</br>при /\х -> 0, /\у -> 0
</br>Сумма первых 2х слагаемых равенства называется <b>главной частью приращения.</b>
</br>Главная часть приращения функции z=f(x,y) называется <b>полным дифференциалом этой функции и обозначается dz</b>
</br>dz=A/\x+B/\y, где A/\x, B/\y – частные дифференциалы.
</br>Для независимых переменных /\x=dx, /\y=dy:
</br>dz=Adx+Bdy
</br><b>Необходимое условие дифференцируемости функции.</b>
</br>Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М(х,у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по х и по у, причем ЧП по х=А, ЧП по у=В
</br><b>Формула для нахождения полного дифференциала:</b>
</br>dz=ЧП по х*dx+ ЧП по у*dy
</br><b>Достаточное условие дифференцирования функции.</b>
</br>Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные по х и по у в точке М(х,у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал можно найти по предыдущей формуле
</br>
</br><b>3. Частные производные и дифференциалы высших порядков.</b>
</br>Смешанная производная (указать вид: д 2 з по дх,ду, д2з по ду,дх)
</br>Производная высших порядков по разным переменным – смешанные частные производные
</br>д2з по дх квадрат
</br>д2з по ду квадрат
</br><b>Теорема Шварца.</b>
</br> Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка отличаются лишь порядком дифференцирования и равны между собой.
</br>Пусть функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные 2го порядка, тогда дифференциал второго порядка определяется по формуле:
</br>d<sup>2</sup>z=d(dz) или:
</br> d<sup>2</sup>z=( ЧП по х*dx+ ЧП по у*dy) <sup>2</sup>z
</br>Дифференциал 3 порядка:
</br>d<sup>3</sup>z=d(d<sup>2</sup>z)
</br>расписать попробовать
</br> d<sup>3</sup>z=( ЧП по х*dx+ ЧП по у*dy) <sup>3</sup>z
</br>Дифференциал n-ного порядка:
</br> d<sup>n</sup>z=( ЧП по х*dx+ ЧП по у*dy) <sup>n</sup>z
</br>
</br><b>4. Производная в данном направлении. Градиент функции</b>
</br>Пусть функция z является функцией 2х переменных.
</br><b>Градиентом функции </b>z=f(x,y) в точке М(х,у) называется вектор, имеющий </br>своими координатами частные производные функции, найденные в точке М.
</br>Записать формулу.
</br><b>Производной по направлению </b>вектора l функции z=f(x,y) называется выражение:
</br>дз по дл= дз по дх в т. М*cos alpha +дз по ду в т. М*sin alpha,
</br>где alpha – угол между l и положительными направлениями ох и оу.
</br>Если функция является функцией 3х переменных u=f(x,y,z):
</br>дu по дл = дu по дх в М на кос альфа + дu по ду в М на кос бета + дu по дз в М на кос гамма,
</br>где кос альфа, кос бета, кос гамма – направляющие косинусы вектора l
</br>
</br><b>5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.</b>
</br><b>Касательной плоскостью к поверхности</b> в точке М называют поверхность, проходящую через точку М поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через любую точку М и любую точку М1 поверхности стремится к нулю, когда М1 стремится к М.
</br>Формула!
</br><b>Нормалью к поверхности </b>в точке М называют прямую, проходящую через точку М, перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
</br>Формула!
</br>
</br><b>6. Экстремум функции 2х независимых переменных. Необходимое и достаточное условия. </b>
</br>Точка с координатами (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) называется <b>точкой максимума</b> функции z=f(x,y), если существует такая дельта-окрестность точки (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>), что для любой точки (х,у), отличной от точки (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) из этой окрестности выполняется неравенство:
</br>f(x,y)<f(х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>)
</br>Точка с координатами (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) называется <b>точкой минимума</b> функции z=f(x,y), если существует такая дельта-окрестность точки (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>), что для любой точки (х,у), отличной от точки (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) из этой окрестности выполняется неравенство:
</br>f(x,y)>f(х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>)
</br><b>Необходимое условие экстремума. </b>
</br>Если в некоторой точке N(х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю.
</br>Точки, в которых частные производные первого порядка функции z=f(x,y) равны нулю, называются <b>стационарными или критическими точками этой функции. </b>
</br><b>Достаточное условие экстремума. </b>
</br>Пусть имеется стационарная точка (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) и в некоторой ее окрестности функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные 2го порядка.
</br>В точке (х<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) вычисляют значения:
</br>А = вторая производная по х в точке
</br>В = смешанная производная в точке
</br>С = вторая производная по у в точке
</br>Составляется определитель:
</br>/\=А*С-В<sup>2</sup>
</br>Тогда:
</br>1) если /\ больше нуля, то функция в данной точке имеет экстремум:
</br>макс, если А меньше 0
</br>мин, если А больше 0
</br>2) если /\ меньше 0, то функция в данной точке экстремума не имеет
</br>3) если /\=0, то в данной точке экстремум может быть, а может и не быть, необходимы дополнительные исследования.